Número real

Diferentes clases de números reales.

En matemáticas, los números reales (designados por $\mathbb{R}$ ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: $\sqrt{5}, \pi$ , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.²

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.³ En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

1. Expresar mediante intervalos los siguientes subconjuntos de R:

2. Expresar mediante intervalos los siguientes subconjuntos de R:

3. Ordenar los siguientes números reales de menor a mayor:

4. Determinar la expresión decimal de los números racionales 3/4, -8/3 y 139/30 y decir de qué tipo son.

5. Indicar a qué conjuntos numéricos pertenece cada uno de los siguientes números:

6. Realizar de forma detallada las siguientes operaciones simplificando el resultado:

http://www.unizar.es/aragon_tres/Imagesu4/imreare6.gif

7. Dados los intervalos A = (-∞, -2], B = (-3, 4] y C = [4, 5) calcular:

8. Determinar el signo de las siguientes expresiones teniendo en cuenta que a es un número real negativo, bpositivo y |a| > |b|:

http://www.unizar.es/aragon_tres/Imagesu4/imreare8.gif

9. Resolver las siguientes ecuaciones en los conjuntos numéricos N, Z, Q y R:

http://www.unizar.es/aragon_tres/Imagesu4/imreare9.gif

Numeros Fraccionarios

http://docente.ucol.mx/grios/Imagenes/10715.jpg

¿Que son los Numeros Fraccionarios?

Los Numeros Fracciónarios , son el cociente indicado

a/b

de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.

Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.

Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:

14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32

Equivalencia

Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa
a/b = a'/b'

si a · b′ = b · a′.
Así,
21/28= 9/12

porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.

Simplificacion

Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:

a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
Por ejemplo:
120/90= 12/9
La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10

Fraccion Irreducible

Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.
La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:

12/= 4/3

Reduccion a comun denominador

Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.
Por ejemplo, para reducira común denominador las fracciones
2/3, 4/9 y 3/5

se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90
Es decir,

es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene

30/45, 20/45, 27/445

que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.

Suma de Fracciones

Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:

2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45

Producto de Fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:

a/b * c/d = a*c/b*d

Inversa de una Fraccion

La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:
a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1

Cociente de Fraccion

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:

a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p

Fracciones Comunes

73

Una fracción común es una cantidad dividida por otra. Es importante recordar que cualquier número que se pueda escribir así: b/a se llama número racional.

Fracciones Comunes

Las fracciones representan una división; y también, parte de un entero. Una fracción la podemos representar de la siguiente manera:

$http://www.escolares.net/wp-content/uploads/fraccionescomunes_numerador_denominador.gif$

Numerador: número de partes que se consideran.

Denominador: partes iguales en que hemos dividido el grupo, unidad o conjunto.

Clasificación de Fracciones

Fracción propia: Son aquellas fracciones donde el numerador (1) es menor que el denominador (2), y por lo tanto, el resultado es un valor comprendido entre cero y uno.
1
- = 0,5 ; es menor a 1
2
Fracción impropia: Una fracción es impropia cuando su denominador (1) es menor al numerador (3), por lo que el resultado es un valor mayor que 1.
3
- = 3 ; es mayor a 1
1
Fracción unitaria: Decimos que una fracción es unitaria, cuando su resultado nos da como valor la unidad (1). Para que esto suceda, el numerador (4) y denominador (4) deben poseer el mismo valor.
4
- = 1
4

Fracción de un Número

Para poder saber cuál es la fracción de un número, por ejemplo: 2/4 de 16, debemos dividir el número que deseamos fraccionar (16), por su denominador (4), y luego multiplicarlo por el numerador (2).
16:4 = 4; 4 x 2 = 8
Así:
Si realizamos la operación nos da que como resultado que dos cuartos de 16 es 8.
Para entender mejor, imagina que cada cuadrado de la región representa al denominador, y lo que encerramos y destacamos con naranjo, al numerador.
Así, cuando queremos encontrar los 2/4 de 16, debemos pensar que a 16 primero lo debemos divididir en cuatro grupos (representado por el denominador), y que luego de esos cuatro grupos sólo tomamos dos, porque así se señala en el numerador.

$fracciones$

Número decimal

Para otros usos de este término, véase Decimal.

Este artículo trata sobre parte entera y parte fraccionaria. Para números escritos en base diez, véase Sistema de numeración decimal.

Se denominan números decimales aquellos que poseen una parte decimal, en oposición a los números enteros que carecen de ella.¹ Así, un número x perteneciente a Rescrito usando la representación decimal tiene la siguiente expresión:

$x = a, a_1a_2 \cdots a_n \cdots$

donde a es un número entero cualquiera, llamado parte entera, separado por una coma o punto de la parte fraccionaria: cada a_i con i = 1,2,...,n,... y 0 ≤ a_i ≤ 9.² ³

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959

Primeros 1100 decimales de π.

Parte entera y parte fraccionaria[editar · editar fuente]

La parte entera corresponde a un número entero (es decir que puede ser cero, o un número negativo); laparte decimal o fraccionaria, corresponde al valor decimal situado entre cero y uno.

· Ejemplos:

· Logaritmo decimal, se distingue la mantisa de la característica; en log(0,001237) = - 2,90763 = -3 + 0,09237, la caractística es -3 y la mantisa es 0,09237.

· En base duodecimal, el desarrollo de √5 es 2,29BB13254051..., siendo 2 el entero y 29BB13254051... la parte fraccionaria.

· La notación científica permite escribir el número: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 como 1,56234×10²⁹, siendo 1,56234 el coeficiente.

· La función parte entera es igual al mayor (o menor) entero contenido dentro de un número,

$\lfloor 2,3 \rfloor = 2$

$\lfloor -2,3 \rfloor = -3$

Notación decimal[editar · editar fuente]

Véase también: Separador decimal.

Véase también: Separador de millares.

En la lengua española en la actualidad se emplean básicamente tres formas de anotar un número con parte decimal, según el signo empleado como separador decimal:

El punto decimal: se emplea un punto(.) para separar la parte entera de la decimal, este método es el utilizado en las calculadoras electrónicas y en los ordenadores, rara vez se utiliza en la notación de cifras manualmente.

$3.141592 \;$

La coma decimal: se emplea una coma(,) como separador, esta forma en común en las publicaciones de habla hispana y se utiliza también en las notaciones manuales.

$3,141592 \;$

El apóstrofo decimal: el apóstrofo(') en ocasiones también llamado coma decimal es la forma usual de separar la parte decimal de un número en las notaciones a mano.

$3'141592 \;$

En todos los casos, las cifras decimales, no se separan en grupos con espacios en blanco u otro signo, sino que se escriben seguidas, sea cual sea el número de cifras decimales que forme la parte decimal del número en cuestión.

Cifras decimales

$\begin{array}{lcccl} \hline \rm d\acute{e}cima & \longmapsto & 10^{-1} & = & 0,1 \\ \rm cent\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-2} & = & 0,01 \\ \rm mil\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-3} & = & 0,001 \\ \rm diezmil\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-4} & = & 0,0001 \\ \rm cienmil\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-5} & = & 0,00001 \\ \rm millon\acute{e}sima & \longmapsto & 10^{-6} & = & 0,000001 \\ \hline \end{array}$

Porcentaje

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Percent_18e.svg/100px-Percent_18e.svg.png

El signo porcentaje.

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa “de cada cien unidades”. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. El porcentaje sirve también para sacar un porciento de una cantidad ...

El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.¹ Por ejemplo, "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa 'treinta y dos de cada cien'. También puede ser representado:

$32\,% = \; 32 \cdot 0,01$

$32\,% = \; \cfrac{32}{100}$

y, operando:

$32\,% = \; 0.32$

El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

$32\,% \cdot 2000 = \; 0.32 \cdot 2000 = \; 640$

640 unidades en total.

El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país.

El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba "P cento" (c. 1425).

Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y e ‱ (por diez mil, también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente.

RAZONES Y PROPORCIONES

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RAZONES

RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o diferencia y razón geométrica o por cociente.

RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.).

Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6. 4 y se lee seis es a cuatro.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.

Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (

Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe

u 8

4, y se lee, ocho es a cuatro.

Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8

4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS

Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:

Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE

Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:

Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

EJERCICIOS

(En los ejercicios siguientes, cuando se diga simplemente razón o relación, se entenderá que la razón pedida es geométrica).

Cite dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica sea .
Hallar la razón aritmética y geométrica de :
a) 60 y 12. R. 48; 5. c) 5.6 y 3.5 R. 2.1; .

. R.

;

. d)

y 0. 02. R- 0.355;

Hallar la relación entre las edades de dos niños 10 y 14 años. R. .
Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3.
Cite tres pares de números cuya razón sea ; tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6.
La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿ cuál es el mayor? R. 24.
El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos de 5 a 7. Hallar el número menor. R 30.
Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? R. 119.

matematicas de primer semestre

domingo, 1 de septiembre de 2013

Numeros Fraccionarios

¿Que son los Numeros Fraccionarios?

Fracciones Comunes

73

Fracciones Comunes

Clasificación de Fracciones

Fracción de un Número

Parte entera y parte fraccionaria[editar · editar fuente]

Notación decimal[editar · editar fuente]

Cifras decimales

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