Sucesión matemática
Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término(también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
- Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.
ejercicios:
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
Es creciente.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El mínimo es 1.
No está acotada superiormente.
Divergente
an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: 2, 3, 4, ...
El máximo es 2.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El ínfimo es 1.
Convergente, límite = 1.
Monotonía
3, 4/3, 1, 6/7,...
Es monotona estrictamente decreciente.
Límite
a1= 3
a3= 1
a1000= 0.5012506253127
a1000 000 = 0.5000012500006
El límite es 0.5
Sucesión convergente
Cotas
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la sucesión está acotada.
0.5 < a n ≤ 3
allar el término general de las siguientes sucesiones:
1 8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8= -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13
2 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.
an = 3· 2 n-1
3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.
bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2
4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...
22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...
Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.
an= (n + 1) 2 + 1
5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...
an= (n + 1)2 - 1
6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...
an= (n + 1)2 - 1
2, 7, 14, 23, 34, 47, ...
22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...
an= (n + 1) 2 - 2
7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...
an= (-1)n (n + 1)2
8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
an= (-1)n-1 (n + 1)2
9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
Tenemos dos sucesiones:
2, 5, 8, 11, 14, ...
4, 9, 16, 25, 36, ...
La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.
an= (3n - 1)/(n + 1) 2
10 
Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.
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